Question

如图，在正方体中，已知是棱的中点．

求证：（1）平面，
（2）直线∥平面；

Answer 1

详见解析

试题分析：（1）要想证平面只需在面内证两条相交线AB和都和垂直即可。利用线面垂直可证AB和垂直，利用正方形对角线性质可得和垂直。问题即得证。（2）根据线面平行的判定定理可知需在面内证得一条直线与平行，连结交于，连结，由正方形对角线性质可知N为中点，又因为是棱的中点，可知中位线∥，，从而问题得证。
试题解析：证明：（1）正方体中，，
∴平面，
∵平面，
∴，
又 ∵，
∴平面，
（2）如图，连结交于，连结，

∵ 在正方体中，
∴ 是的中点，
又∵是棱的中点，
∴ ∥，
又 ∵ 平面，平面，
∴直线∥平面；