Question

如图①，△BCD内接于直角梯形，A₁D∥A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，A₁D＝10，A₁A₂＝8，沿△BCD三边将△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去，恰好形成一个三棱锥ABCD，如图②.

(1)求证：AB⊥CD；
(2)求直线BD和平面ACD所成的角的正切值；
(3)求四面体的体积。

Answer 1

(1)详见解析；(2) ； (3)

试题分析：（1）平面图中因为A₁D∥A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A_3，所以，立体图中不变，即，可证得,就可证出AB⊥CD。（2）由（1）知AB⊥平面ACD.，所以AD即为BD在面ACD内的射影，所以∠BDA即为所求。在直角三角形中利用三角函数可求其正切值。（3）由（1）知，所以可以选以面ADC为底面，以AB为高求其体积。
试题解析：(1)证明：∵在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，
∴在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，AB⊥AC.
∵AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.
∵CD?平面ACD，∴AB⊥CD.
(2)解：由(1)知AB⊥平面ACD，
∴AD为BD在平面ACD内的射影，
∠BDA是直线BD和平面ACD所成的角．
依题意，在直角梯形A₁A₂A₃D中，
A₁D＝A₃D＝10，A₁B＝A₂B＝4，
∴在三棱锥ABCD中，AD＝10，AB＝4.
在Rt△ABD中，tan ∠BDA＝＝＝.
∴直线BD和平面ACD所成的角的正切值为.
（3）由(2)得: