Question

已知曲线C：y²=x+1和定点A（3，1），B为曲线C上任意一点，若

AP

=2

PB

，当点B在曲线C上运动时，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出点P（x，y）和点B（a，b），由

AP

=2

PB

，得到这两个坐标的关系，再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程．

解答： 解：设点B的坐标（a，b），点P的坐标为（x，y），则
∵

AP

=2

PB

，A（3，1），
∴（x-3，y-1）=2（a-x，b-y），
∴x-3=2a-2x，y-1=2b-2y，
∴a=

3

2

（x-1），b=

1

2

（3y-1）
∵点B在抛物线上，∴b²=a+1，
∴化简得3y²-2y-2x+1=0．

点评：在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点．