题目内容

【题目】已知椭圆：的左右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且满足.

（1）求椭圆的离心率；

（2）过作斜率为的直线交于两点. 为坐标原点，若的面积为，求椭圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意画出图形可知，则，根据椭圆定义可知：，所以有，所以，整理得：，所以离心率；（2）由（1）得出：，所以椭圆方程为，则左焦点坐标为过的直线方程为：，联立直线方程与椭圆方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，显然，设，于是可以得出和的值（均为含的表达式），将的面积表示成，再转化成，整理后得到关于变量的方程，解出值后，即求出椭圆的标准方程.

试题解析：（1）点横坐标为，代入椭圆得，

解得，∴.

,∴，∴.

（2）椭圆方程化为，直线为：，联立可得，…6分

设，则,得.

的面积为:

，

∴,∴椭圆的方程为.

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