Question

函数①f（x）=2x-1，②f（x）=

x

，③f（x）=x²+x-1，④f（x）=e^x，⑤f（x）=x³中，满足条件“?x₀∈R，f′（x₀）=

f(x0+1)-f(x0-1)

2

”的有

①③

．（写出所有正确的序号）

Answer 1

分析：由已知，只需方程f′（x₀）=

f(x0+1)-f(x0-1)

2

有解即可，分别求出函数的导数，再考察方程解得情况，做出解答．

解答：解：对于①f（x）=2x-1，f′（x）=2，f′（x₀）=

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=

2x0+1-(2x0-3)

2

=2，对于任意实数x均满足要求，①正确．
②f（x）=

x

，f′（x）=

1

2 x

，f′（x₀）=

x0+1 - x0-1

2

=

1

2 x0

，无解，故错误．
③f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=2x₀+1，对于任意实数x均满足条件要求，③正确．
④f（x）=e^x，f′（x）=e^x，由

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=

ex0+1-ex0-1

2

=ex0，无解，故错误．
⑤f（x）=x³，f′（x）=3x²，由

f(x0+1)-f(x0-1)

2

=

ex0+1-ex0-1

2

=ex0，无解，故错误
综上所述，满足条件的有①③
故答案为：①③

点评：本题考查函数求导运算，方程思想，考查转化、计算能力．