题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁，F₂，若右准线上存在P点使得线段PF₁的垂直平分线恰好过F₂，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

[ $\text{[math]}$ ，1）
分析：设点P（ $\text{[math]}$ ，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点K的坐标，根据线段PF₁的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，求出 m² 的解析式，再利用 m²≥0，得到3e⁴+2e²-1≥0，求得 e 的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e 的范围．
解答：由题意得 F1（-c，0）），F2 （c，0），设点P（ $\text{[math]}$ ，m），则由中点公式可得线段PF₁的中点
K（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），∴线段PF₁的斜率与 KF2的斜率之积等于-1，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-1，
∴m²=-（ $\text{[math]}$ +c）•（ $\text{[math]}$ ）≥0，∴a⁴-2a²c²-3 c⁴≤0，
∴3e⁴+2e²-1≥0，∴e²≥ $\text{[math]}$ ，或 e²≤-1（舍去），∴e≥ $\text{[math]}$ ．
又椭圆的离心力率 0＜e＜1，故 $\text{[math]}$ ≤e＜1，
故答案为[ $\text{[math]}$ ，1）．
点评：本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用．属于基础题．

练习册系列答案

练考通全优卷系列答案

初中同步达标检测试卷系列答案

导学精析与训练系列答案

红果子三级测试卷系列答案

悦然好学生单元练系列答案

实验班提优课堂系列答案

英才考评系列答案

课堂练加测系列答案

百分百训练系列答案

新体验课时训练系列答案

相关题目

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的离心率为

且经过点P(1，

)．M为椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆M．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若圆M与y轴有两个交点，求点M横坐标的取值范围；
（3）是否存在定圆N，使得圆N与圆M相切？若存在．求出圆N的方程；若不存在，说明理由．

已知椭圆的左、右焦点分别为，其右准线上上存在点（点在轴上方），使为等腰三角形．

⑴求离心率的范围；

⑵若椭圆上的点

的距离之和为

的内切圆的方程．

已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

（本题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中

F₂也是抛物线的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且

（I）求椭圆C₁的方程；（II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。

（本小题满分12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点的直线与该椭圆交于M、N两点，且，求直线的方程．