Question

若命题p：?x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命题，则实数a的取值范围是

{

5

}∪[

7

3

，3]

．

Answer 1

分析：已知命题p：?x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命题，可知?x∈[1，3]使得x²-2ax+5≤0，利用函数的图象，进行求解；

解答：解：∵命题p：?x∈[1，3]，x²-2ax+5＞0是假命题，
∴?x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，可得，图象开口向上，△=（-2a）²-4×5=4a²-20；
y=x²-2ax+5，令y=0，方程的两个根，得x₁=a+

1

2

4a2-20

，x₂=a-

1

2

4a2-20

要使∴?x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，
只要有一个根在[1，3]之间就可以，
可得：

△＞0 1≤x1≤3

或

△＞0 1≤x2≤3

解得：

7

3

≤a≤3
若△=0，可得a=±

5

，
当a=-

5

，可得方程的根为x=-

5

，不满足，题意；
当a=

5

，可得方程的根为x=

5

，方程存在根x=

5

使得x²-2ax+5=0，符合题意；
综上：实数a的取值范围是{

5

}∪[

7

3

，3]；
故答案为{

5

}∪[

7

3

，3]；

点评：此题主要考查符合命题的真假，将问题转化为?x∈[1，3]，使得x²-2ax+5≤0，根据根与系数的关系进行求解；