Question

（本题满分16分）

已知函数f(x)＝lnx＋，其中a为大于零的常数．

（1）若函数f(x)在区间[1，＋∞)内不是单调函数，求a的取值范围；

（2）求函数f(x)在区间[e，e²]上的最小值．

Answer 1

（本题满分16分）

解： f ¢(x)＝(x＞0) …… 2分

（1）由已知，得f ¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，

又当x∈(1，＋∞)时，＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是(0，1)……6分

 （2）①当a≥时，因为f ¢(x)＞0在(e，e²)上恒成立，这时f(x)在[e，e²]上为增函数，所以当x＝e时，f(x)_min＝f(e)＝1＋ …………… 8分

       ②当0＜a≤时，因为f ¢(x)＜0在(e，e²)上恒成立，这时f(x)在[e，e²]上为减函数，

所以，当x＝e²时，f(x)_min＝f(e²)＝2+，………………10分

       ③当＜a＜时，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e²)，

又因为对于x∈(e，)有f ¢(x)＜0，

对于x∈(，e²)有f ¢(x)＞0，

所以当x＝时，f(x)_min＝f()＝ln＋1－…………14分

       综上，f(x)在[e，e²]上的最小值为

       f(x)_min＝…………………16分