Question

【题目】已知数列满足,.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设数列满足,其中.记的前项和为.是否存在正整数,使得成立？若存在,请求出所有满足条件的；若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），见解析

【解析】

（1）由条件，可得，从而可得{}是公比为的等比数列，由此可求数列{an}的通项公式；

（2）由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和．

（3）先通过列举法写出{Sn}的前8项，再对m，n的奇偶分类讨论，利用{Sn}的单调性来说明仅有一对符合题意的m，n.

（1）由已知可得：，即，

所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即.

(2)Tn＝123n（）n，

Tn＝12（）nn（）n+1，

作差得：Tn＝nn（）n+1＝n（）n+1，

所以

(3)由已知可得，，，，

，，，.

1°当同时为偶数时，可知；设,则，因为

，

所以数列单调递增，则≥5时，，即{S2n}在≥5时单调增，所以不成立；

故当同时为偶数时，可知；

2°当同时为奇数时，设,则，因为

，

所以数列单调递增，则当≥2时，，

即≥2时，，数列在≥2时单调递增，

而，，，故当同时为奇数时，不成立；

3°当为偶数，为奇数时，显然时，不成立，

若，则，

∵，∴，由2°可知，∴，

∴当为偶数，为奇数时，不成立；

4°当为奇数，为偶数时，显然时，不成立，若，则，

若，则，

即，∴时，不成立;

若，由1°知,又记满足，所以单调递增，，所以时，不成立；

综上：存在.