Question

18．设P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1（a＞b＞0）上任一点，F₁，F₂为椭圆的焦点，|PF₁|+|PF₂|=4，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$． 
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C₁，直线l：y=x+m交C₁于M，N两点，线段MN的垂直平分线经过点P（1，0），求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可知：2a=4，a=2，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，m²＜5，由中点坐标公式可知：x₁+x₂=2x₀=1-m，代入即可取得m的值．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知：丨PF₁|+|PF₂|=2a=4，a=2，离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则c=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）联立直线方程与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得：5x²+8mx+4m²-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点为Q（x₀，y₀），
则x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，
由△=64m²-20（4m²-4）＞0，解得：m²＜5，
又∵线段MN的垂直平分线经过点P（1，0）
∴线段MN的垂直平分线方程y=-x+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，解得：2x₀=1-m，
由x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁+x₂=2x₀，
∴1-m=-$\frac{8m}{5}$，解得：m=-$\frac{5}{3}$，
∴实数m的值-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查中点坐标公式的应用，属于中档题．