Question

已知双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的准线过椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是

 

．

Answer 1

分析：先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c²=a²-b²求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．

解答：解：根据题意，易得准线方程是x=±

a2

b

=±1
所以c²=a²-b²=4-b²=1即b²=3
所以方程是

x2

4

+

y2

3

=1
联立y=kx+2可得3x²+（4k²+16k）x+4=0
由△≤0解得K∈[-

1

2

，

1

2

]
故答案为：k∈[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程．