题目内容

已知双曲线
x2
2
-
y2
b2
=1(b>0)
的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(
3
y0)
在双曲线上、则
PF1
PF2
=(  )
A、-12B、-2C、0D、4
分析:由双曲线的渐近线方程,不难给出a,b的关系,代入即可求出双曲线的标准方程,进而可以求出F1、F2,及P点坐标,求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解.
解答:解:由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线,
∴双曲线方程是x2-y2=2,
于是两焦点坐标分别是F1(-2,0)和F2(2,0),
P(
3
,1)
P(
3
,-1)

不妨令P(
3
,1)

PF1
=(-2-
3
,-1)
PF2
=(2-
3
,-1)

PF1
PF2
=(-2-
3
,-1)(2-
3
,-1)=-(2+
3
)(2-
3
)+1=0

故选C
点评:本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算,处理的关键是熟练掌握双曲线的性质(顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a,b,c的关系),求出满足条件的向量的坐标后,再转化为平面向量的数量积运算.
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