Question

已知双曲线

x2

2

-

y2

2

=1的准线过椭圆

x2

4

+

y2

b2

=1的焦点，且直线y=kx+2与椭圆在第一象限至多只有一个交点，则实数k的取值范围为

（-∞，1]∪[-

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c²=a²-b²求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式等于0求得k，结合图形可得k的范围．

解答：解：根据题意，易得准线方程是x=±

a2

b

=±1
所以c²=a²-b²=4-b²=1即b²=3
所以方程是

x2

4

+

y2

3

=1
联立y=kx+2可得3x²+（4k²+16k）x+4=0
由△=0，解得k=-

1

2

，
当直线y=kx+2过点A（2，0）时，k=-1，结合可得，直线y=kx+2与椭圆在第一象限至多只有一个交点，则实数k的取值范围为 （-∞，1]∪[-

1

2

，+∞）．
故答案为：（-∞，1]∪[-

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程．