Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，与它的准线交于点P，则$\frac{|AB|}{|AP|}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，求出A、B的坐标，然后求其比值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}60°}$=$\frac{8}{3}$p，即有x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，
由直线l倾斜角为60°，
则直线l的方程为：y-0=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
联立抛物线方程，消去y并整理，12x²-20px+3p²=0，
则x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，可得x₁=$\frac{3}{2}$p，x₂=$\frac{1}{6}$p，
则|AP|=4p，
∴$\frac{|AB|}{|AP|}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．