题目内容
14．惠城某影院共有100个座位，票价不分等次．根据该影院的经营经验，当每张标价不超过10元时，票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有3张票不能售出．为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，符合的基本条件是：①为方便找零和算帐，票价定为1元的整数倍；
②影院放映一场电影的成本费用支出为575元，票房收入必须高于成本支出．
用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）．
（Ⅰ）把y表示成x的函数，并求其定义域；
（Ⅱ）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？
分析 （Ⅰ）根据x的范围，分段求出函数表达式；
（Ⅱ）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．
解答 解：（Ⅰ）由题意知当x≤10时，y=100x-575，
当x＞10时，y=[100-3（x-10）]x-575=-3x2+130x-575
由$\left\{\begin{array}{l}100x-575＞0\\-3{x^2}+130x-575＞0\end{array}\right.$---------------（3分）
解之得：$5.75＜x＜\frac{{130+\sqrt{{{130}^2}-12×575}}}{6}=\frac{{130+\sqrt{10000}}}{6}=\frac{130}{3}≈38.3$
又∵x∈N，∴6≤x≤38---------------（5分）
∴所求表达式为$y=\left\{\begin{array}{l}100x-575，6≤x≤10，x∈N\\-3{x^2}+130x-575，10＜x≤38，x∈N\end{array}\right.$
定义域为{x∈N|6≤x≤38}．---------------（6分）
（Ⅱ）当y=100x-575，6≤x≤10，x∈N时，
故x=10时ymax=425---------------------------（8分）
当y=-3x2+130x-575，10＜x≤38，x∈N时$y=-3{（x-\frac{65}{3}）^2}+\frac{2500}{3}$，-------------（10分）
故x=22时ymax=833-------------（11分）
所以每张票价定为22元时净收入最多．-------------（12分）
点评 本题考查了一次函数、二次函数的性质及应用，根据x的范围得到函数的解析式是解题的关键，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | （-∞，0] | B． | （-∞，1] | C． | （-∞，2] | D． | （-∞，3] |
| A． | 0 | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | 1 | D． | $\sqrt{3}$ |