Question

【题目】已知，，有如下结论：

①有两个极值点；

②有个零点；

③的所有零点之和等于零.

则正确结论的个数是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断命题①的正误；利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断命题②的正误；由得出，设，由推导出，由此可判断出命题③的正误.综合可得出结论.

，则，.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，函数的最小值为.

，.

令，当时，，则函数在上单调递增，

则，所以，当时，.

，，

由零点存在定理可知，函数在和上各有一个零点，

所以，函数有两个极值点，命题①正确；

设函数的极大值点为，极小值点为，则，

则，所以，

函数的极大值为，

构造函数，则，

所以，函数在上单调递减，

当时，；当时，.

，，，则，即.

同理可知，函数的极小值为.

，.

由零点存在定理可知，函数在区间、、上各存在一个零点，

所以，函数有个零点，命题②正确；

令，得，，则，

令，则，

所以，函数所有零点之和等于零，命题③正确.

故选：D.