Question

【题目】已知是轴上的动点（异于原点），点在圆上，且.设线段的中点为，当点移动时，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）当直线与圆相切于点，且点在第一象限.

（ⅰ）求直线的斜率；

（ⅱ）直线平行，交曲线于不同的两点、.线段的中点为，直线与曲线交于两点、，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.

【解析】

（1）连接，设，求出点的坐标，然后将点的坐标代入圆的方程，化简后可得出曲线的方程；

（2）（i）由题意可得出，再由可判断出为等腰直角三角形，可求出点、的坐标，并求出点的坐标，由此可求出直线的斜率；

（ii）设，，直线，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，进而可求得直线的方程，由此可求得点、的坐标，再利用弦长公式化简可证得结论成立.

（1）连接，设，由，可得，

由为的中点，则，，，

，则，

把代入，整理得，

所以曲线的方程为；

（2）（ⅰ）当直线与圆相切于点，则，

，则，所以，是等腰直角三角形，且，

又点在第一象限，得，.

由为的中点，得，所以直线的斜率为；

（ⅱ）设，，直线，

由，整理得，

由韦达定理得，.

所以点坐标为，则直线方程为.

由方程组，得，，

所以.

又，

所以.