Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N．
（I）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（I）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列

1

bnbn+1

的前n项和，求T₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（I）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）可得a_n+1=3a_n，要使得当n≥1时，{a_n}是等比数列，则只需

a2

a1

=

2t

t

=3可求t
（II）由（I）可求b_n，结合数列的特点，考虑利用裂项相消可求数列的和

解答：解：（I）由题意可得，a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）
两式相减可得，a_n+1-a_n=2a_n即a_n+1=3a_n
∴当n≥2时，{a_n}是等比数列
要使得当n≥1时，{a_n}是等比数列，则只需

a2

a1

=

2t

t

=3
∴t=1
（II）由（I）可得an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=n
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴T2012=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

点评：本题主要考查了等比数列的定义的应用，数列的递推公式a_n=S_n-S_n-1（n≥2）的应用，数列的裂项相消法的应用．