Question

双曲线M的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的准线为右准线.
（Ⅰ）求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线： 与双曲线M相交于A、B两点，O是原点.
① 当为何值时，使得?
② 是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）双曲线M的方程为.
（Ⅱ）当时，使得. 
②当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称

（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，
又抛物线的准线为：.   ----------2分
设双曲线M的方程为，依题意有，
故，又.
∴双曲线M的方程为. ----------4分
（Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点
联立方程组 消去y得 ，-------5分
∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根，∴
∴，
从而有，.   ----------7分
又，
∴.
① 若，则有 ，即 .
∴当时，使得.   ----------10分
② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有，
因此，当m=0时，不存在满足条件的k；
当时，由 得
  
∵A、B中点在直线上，
∴，代入上式得
，又， ∴----------13分
将代入并注意到，得.
∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称----------14分