Question

（2012•绵阳三模）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的体积是

4π

3

，则A、B两点的球面距离为

arccos

1

3

．

Answer 1

分析：由已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的八个顶点都在球O的表面上，我们可以求出球O的半径，进而根据AB，解三角形AOB，求出∠AOB的大小，进而根据弧长公式，即可求出答案．

解答：解：设球的半径为R，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的八个顶点都在球O的表面上，且体积是

4π

3

，
故

4

3

πR3=

4π

3

，即R=1
又设正方体的棱长为a，由余弦定理得：
cos∠AOB=

2×( 3 a 2 )2-a2

2× 3 a 2 × 3 a 2

=

1

3

∴∠AOB=arccos

1

3

．
则A，B两点之间的球面距离为 1×arccos

1

3

=arccos

1

3

，
故答案为：arccos

1

3

．

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，弧长公式，其中根据已知条件求出球的关径，及弧AB对应的圆心角的度数是解答本题的关键．