Question

【题目】设公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列 的前n项和为Tn．

（Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列前项和公式、通项公式结合等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，再利用裂项求和法进行求和；（Ⅱ）分离未知数，利用基本不等式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0），

由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①…

又∵a1，a4，a13成等比数列，

∴a42=a1a13，即（a1+3d）2=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②…

联立①②解得a1=3，d=2，

∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．

∴，

∴．

（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即，

∴，…

又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，

∴≥162，…

∴t＜162．