Question

（本题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，,,是边长为2的等边三角形，，CD与平面ABDE所成角的正弦值为.

（1）在线段DC上是否存在一点F，使得，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）存在F为CD中点，DF=时，使得（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）取AB的中点G，连结CG，则，
又，可得,所以，
所以，CG=,故CD=  ……2分
取CD的中点为F，BC的中点为H,因为，，所以为平行四边形，得，………………………………4分

平面  ∴
存在F为CD中点，DF=时，使得……6分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则、、        
、，从而， 
，。
设为平面的法向量，

则可以取 ……………………8分
设为平面的法向量，
则取  ……10分
因此，，…………11分
故二面角的余弦值为……………12分
点评：求解和证明立体几何问题一方面可以直接利用几何方法，通过证明或找到线面之间的关系，依据判定定理或性质进行证明求解.但是本法的难在证明线面关系，难在作角、找角.空间向量方法是证明垂直、平行、求角的好方法，因其避开了“做，找”，所以其应用的难度大大的降低了.利用空间向量法证明垂直，即证明向量的数量积等于0；若求二面角则通过两个半平面的法向量的夹角进行求解判断。