Question

（本小题满分12分）
四棱锥,面⊥面.侧面是以为直角顶点的等腰直角三角形，底面为直角梯形，,∥，⊥,为上一点，且.

（Ⅰ）求证⊥；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）先证⊥面，再证⊥面，进而得证；
（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）面⊥面且交线为又⊥，
∴⊥面，
∴⊥，                                                           ……3分
∵⊥，，
∴⊥面，，                                          ……5分
∴⊥.                                                            ……6分
（Ⅱ）设为中点，则⊥，∴⊥面,
建系如图，则,
∴，,                                    ……8分
设为面的法向量,
则，∴为面的一个法向量,                  ……9分
为面的法向量,                                         ……10分
∴,                                           ……11分
∴二面角的正弦值为.                                      ……12分
点评：用定理证明立体几何问题时要紧扣定理，定理中要求的条件一个也不能漏；用空间向量求解二面角时，要仔细计算，还要注意题目中的二面角时锐角还是钝角.