题目内容

函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的图象上一个最高点的坐标为(
π
12
，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为(
7π
12
，-1)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求导函数f'（x）在区间[0，
π
2
]上的最大、最小值．
分析：（1）先由最高点、最低点求出函数的周期，进而求出ω，再利用函数的最大值、最小值列方程组解得A、B，最后代入特殊点求φ，则求出函数f（x）的解析式；
（2）首先利用复合函数求导法则对函数f（x）求导，然后根据余弦函数的性质求f（x）的最值．
解答：解：（1）依题意，
T
2
=
7π
12
-
π
12
=
π
2
，即T=π，故ω=
2π
T
=2．
由
A+B=3
-A+B=-1
，解得
A=2
B=1
．
把(
π
12
，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，得sin(
π
6
+φ)=1，
又|φ|＜
π
2
，故φ=
π
3
．
所以，f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1．
（2）f′(x)=4cos(2x+
π
3
)．
由x∈[0，
π
2
]，得2x+
π
3
∈[
π
3
，
4π
3
]，则cos(2x+
π
3
)∈[-1，
1
2
]，
所以f′(x)=4cos(2x+
π
3
)∈[-4，2]，
故f'（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值为2，最小值为-4．
点评：本题考查三角函数的图象和性质，同时考查待定系数法求函数解析式和三角复合函数求导等知识．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π2
)的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若图象g（x）与函数f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求函数g（x）的单调递增区间．
（2013•大连一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（　　）
当x∈[-
π
6
，
2π
3
]时，函数f(x)=Asin(ωx+θ) (A＞0，ω＞0，|θ|＜
π
2
)的图象如图所示．
（1）求函数f（x）在[-
π
6
，
2π
3
]上的表达式；
（2）求方程f(x)=
2
2
在[-
π
6
，
2π
3
]的解集．
精英家教网函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的一段图象如图5所示：将y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位，可得到函数y=g（x）的图象，且图象关于原点对称，g(
π
2013
)＞0．
（1）求A、ω、φ的值；
（2）求m的最小值，并写出g（x）的表达式；
（3）若关于x的函数y=g(
tx
2
)在区间[-
π
3
，
π
4
]上最小值为-2，求实数t的取值范围．
精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，x∈R，|φ|＜
π
2
)的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=5sin(
π
3
x+
π
6
)
B、f(x)=5sin(
π
6
x-
π
6
)
C、f(x)=5sin(
π
6
x+
π
6
)
D、f(x)=5sin(
π
3
x-
π
6
)

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