Question

函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的一段图象如图5所示：将y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位，可得到函数y=g（x）的图象，且图象关于原点对称，g(

π

2013

)＞0．
（1）求A、ω、φ的值；
（2）求m的最小值，并写出g（x）的表达式；
（3）若关于x的函数y=g(

tx

2

)在区间[-

π

3

，

π

4

]上最小值为-2，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得A、ω、φ的值．
（2）由图易知，m的最小值为

π

12

，故g（x）=2sin2x．
（3）根据函数y=g(

tx

2

)=2sintx 的周期为

2π

t

，当t＞0时，结合图象可得-

1

4

•

2π

t

≥-

π

3

，由此求得t的范围．当t＜0时，由x在区间[-

π

3

，

π

4

]上，结合图象可得

1

4

•

2π

-t

≤

π

4

，由此求得t的范围．再把以上求得的t的范围取并集，即得所求．

解答：解：（1）由函数的图象可得A=2，T=

2π

ω

=

11π

12

+

π

12

，解得ω=2．
再由五点法作图可得 2×（-

π

12

）+φ=0，解得 φ=

π

6

．
（2）将y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位，可得到函数y=g（x）的图象，且图象关于原点对称，
由图易知，m的最小值为

π

12

，且g（x）=2sin2x．
（3）关于x的函数y=g(

tx

2

)=2sintx （t≠0），当t＞0时，由x在区间[-

π

3

，

π

4

]上，结合图象可得
函数y=g(

tx

2

)=2sintx 的周期为

2π

t

，且满足-

1

4

•

2π

t

≥-

π

3

，即

2π

t

≤

4π

3

，故 t≥

3

2

．
当t＜0时，由x在区间[-

π

3

，

π

4

]上，结合图象可得
函数y=g(

tx

2

)=2sintx 的周期为

2π

-t

，且满足

1

4

•

2π

-t

≤

π

4

，即

2π

-t

≤π，t≤-2．
综上可得，t≤-2 或 t≥

3

2

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．