Question

已知椭圆 经过点其离心率为.

   （Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点. 求到直线距离的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，，所以_，    ①   …………………1分

   又点在椭圆上，所以 ，      ②   …………………2分

 由①②解之，得.

   故椭圆的方程为.                        …………………5分

  (Ⅱ) 当直线有斜率时，设时，

则由    

消去得，，         …………………6分

_，  ③…………7分

设A、B、点的坐标分别为，则：

_，…………8分

   由于点在椭圆上，所以 .                       ……… 9分

   从而，化简得，经检验满足③式.

                                                           ………10分

       又点到直线的距离为：

              ………11分  

当且仅当时等号成立          …………12分

当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，

从而点为，直线为，所以点到直线的距离为1   ……13分

所以点到直线的距离最小值为                             ……14分