Question

已知椭圆 经过点其离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) (3)

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）由已知可得，所以3a²=4b²①（1分）

又点在椭圆C上，

所以②（2分）

由①②解之，得a²=4，b²=3．

故椭圆C的方程为．（5分）

（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，

所以．（6分）

当k≠0时，则由

消y化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²﹣12=0，

△=64k²m²﹣4（3+4k²）（4m²﹣12）=48（3+4k²﹣m²）＞0③（8分）

设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），

则．（9分）

由于点P在椭圆C上，所以．（10分）

从而，化简得4m²=3+4k²，经检验满足③式．（11分）

又

=

=．（12分）

因为，得3＜4k²+3≤4，有，

故．（13分）

综上，所求|OP|的取值范围是．（14分）

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的标准方程问题．当研究椭圆和直线的关系的问题时，常可利用联立方程，进而利用韦达定理来解决