Question

已知椭圆 经过点其离心率为.

   （Ⅰ）求椭圆的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知可得，所以     ① ……………1分

   又点在椭圆上，所以                ② ……………2分

 由①②解之，得.                               

 故椭圆的方程为.                                ……………5分

  (Ⅱ) 当时，在椭圆上，解得，所以.   ……6分

当时，则由    

消化简整理得：，

    ③      ……………8分

设点的坐标分别为，则

.   ……………9分

   由于点在椭圆上，所以 .                     ……………10分

   从而，化简得，经检验满足③式.

 ………11分

   又

        

                               ………………………12分

    因为，得，有，

故.                                ………………………13分

       综上，所求的取值范围是.              ………………………14分

(Ⅱ)另解：设点的坐标分别为，

由在椭圆上，可得             ………………………6分

①—②整理得  ………………………7分

由已知可得，所以         ……………………8分

由已知当 ,即 ⑥           ………………………9分

把④⑤⑥代入③整理得                       ………………………10分

与联立消整理得           ……………………11分

由得，

所以   ……………………12分

因为，得，有，

故.                                  ………………………13分

所求的取值范围是.                           ………………………14分