Question

11．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N-BCM的体积．

解答 证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN?平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，
∵NF是△PAC的中位线，
∴NF∥PA，NF=$\frac{1}{2}PA$=2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AM$\underset{∥}{=}$CG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h=$\sqrt{5}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}×BC×h$=$\frac{1}{2}×4×\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
∴四面体N-BCM的体积V_N-BCM=$\frac{1}{3}×{S}_{△BCM}×NF$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{5}×2$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．