Question

1．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρcos²θ=2sinθ，过点P（0，1）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与轨迹C交于M，N两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）求|MN|．

Answer 1

分析 （1）将ρcos²θ=2sinθ两边同时乘以ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，将$\frac{\sqrt{2}}{2}t=x$代入y=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$消去参数t即得直线l的普通方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线方程得到M，N对应的参数，利用参数得几何意义得出|MN|．

解答 解：（I）∵ρcos²θ=2sinθ，∴ρ²cos²θ=2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x²=2y．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，∴y=1+x，即x-y+1=0，∴直线l的普通方程x-y+1=0；
（II）将$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²=2y可得${t^2}-2\sqrt{2}t-4=0$，
设M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+16}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，利用参数的几何意义求距离，属于基础题．