Question

已知直线y=x-4与f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的图象分别交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

 

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Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先做出函数f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的图象，由互为反函数的两函数图象性质可知，它们关于直线y=-x对称，而直线y=x-4垂直于直线y=-x，则直线y=x-4与两曲线的交点A，B关于直线y=-x对称，也就是关于两直线的交点对称，只需求出两直线的交点，结合中点坐标公式即可求出结果．

解答： 解：∵函数y=a^x（a＞1）与函数y=log_ax（a＞1）互为反函数，
∴它们的图象关于直线y=x对称，
将分别作出函数y=a^x（a＞1）与函数y=log_ax（a＞1）图象关于y轴对称的图象，
则得到f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的图象，且它们的图象关于直线y=-x对称，
而直线y=x-4垂直于直线y=-x，
∴f（x）=log_a（-x）和g（x）=a^-x（a＞1）的图象与直线y=x-4的交点A、B也关于直线y=-x对称，
即A、B两点关于直线y=x-4与y=-x的交点P对称，∴P是A、B的中点，
又由

y=-x y=x-4

得交点为P（2，-2），
∴x₁+x₂=4．
故答案为4

点评：这道题考查了同底数的指数、对数函数互为反函数的图象性质，图象的对称变换等知识，以及利用数形结合的思想解题的能力．