Question

5．已知直线：$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}{b}$y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：
①当θ=$\frac{π}{4}$时，S中直线的斜率为$\frac{b}{a}$；
②S中的所有直线可覆盖整个坐标平面．
③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；
其中正确的是③（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

分析 ①当θ=$\frac{π}{4}$时，S中直线的斜率为k=-$\frac{b}{a}$；②（0，0）不满足方程$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}{b}$y=1，S中的所有直线不可能覆盖整个平面；③当a=b时，方程变为xsinθ+ycosθ=a，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等．

解答 解：①当θ=$\frac{π}{4}$时，直线方程变为$\frac{\sqrt{2}x}{2a}+\frac{\sqrt{2}y}{2b}=1$
S中直线的斜率为k=-$\frac{b}{a}$，故①错误；
②∵（0，0）不满足方程$\frac{sinθ}{a}$x+$\frac{cosθ}{b}$y=1，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，故②错误；
③当a=b时，方程为xsinθ+ycosθ=a，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等，故③正确．
故答案为：③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查直线系方程的应用，要明确直线系中直线的性质，结合三角函数的性质，判断各个命题的正确性，是中档题．