题目内容

已知双曲线与椭圆 $数学公式$ 共焦点，它们的离心率之和为 $数学公式$ ，求：
（1）双曲线的标准方程；　　　　　
（2）双曲线的渐近线方程．

解：（1）∵椭圆焦点为F（±4，0），离心率为e= $\text{[math]}$ ，而双曲线与椭圆 $\text{[math]}$ 共焦点，
∴双曲线的焦点为F（±4，0），又它们的离心率之和为 $\text{[math]}$ ，设该双曲线的离心率为e，则e+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴e=2，即 $\text{[math]}$ =2，而c=4，
∴a=2，b=2 $\text{[math]}$ ．
∴双曲线方程为： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1；
（2）∵双曲线方程为： $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，
∴其渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x，
即y= $\text{[math]}$ x或y=- $\text{[math]}$ x．
分析：（1）由题意可知双曲线的焦点在x轴，并求得焦点为F（±4，0），离心率为2，从而c=4，a=2，b=2 $\text{[math]}$ ；
（2）利用双曲线方程即可写出其渐近线方程．
点评：本题考查双曲线的标准方程与双曲线的简单性质，掌握双曲线的方程与性质是解决问题的基础，也是关键，属于基础题．