Question

3．某地气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{8-x}-1，0≤x≤4\\ 5-\frac{1}{2}x，4＜x≤10\end{array}\right.$，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用．
（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：$\sqrt{2}$取1.4）．

Answer 1

分析 （1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度f（x）=4y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4，0≤x≤4}\\{20-2x，4＜x≤10}\end{array}\right.$，分类讨论解出f（x）≥4即可；
（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，可得浓度g（x）=2（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]，变形利用基本不等式即可得出．

解答 解：（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，
∴浓度f（x）=4y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{64}{8-x}-4，0≤x≤4}\\{20-2x，4＜x≤10}\end{array}\right.$
则当0≤x≤4时，由$\frac{64}{8-x}$-4≥4，
解得x≥0，∴此时0≤x≤4．
当4＜x≤10时，由20-2x≥4，解得x≤8，
∴此时4＜x≤8．
综合得0≤x≤8，
若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．
（2）设从第一次喷洒起，经x（6≤x≤10）天，
浓度g（x）=2（5-$\frac{1}{2}$x）+a[$\frac{16}{8-（x-6）}$-1]=（14-x）+$\frac{16a}{14-x}$-a-4
∵14-x∈[4，8]，而1≤a≤4，
∴4$\sqrt{a}$∈[4，8]，
故当且仅当14-x=4$\sqrt{a}$时，y有最小值为8$\sqrt{a}$-a-4．
令8$\sqrt{a}$-a-4≥4，
解得24-16$\sqrt{2}$≤a≤4，
∴a的最小值为24-16$\sqrt{2}$≈1.6．

点评 本题考查了分段函数的意义与性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决实际问题的能力，属于难题．