Question

已知函数f(x)＝alnx＋bx2图象上点P(1，f(1))处的切线方程为2x－y－3＝0．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)函数g(x)＝f(x)＋m－ln4，若方程g(x)＝0在[，2]上恰有两解，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

(1) f(x)＝4lnx－x2 ；(2) 2<m≤4－2ln2．

【解析】

试题分析：(1)由切线方程知图像过，求导后，由题可得，分别代函数与导函数表达式，解可得；(2)由(1)得g(x)＝4lnx－x2＋m－ln4，即方程m＝x2－4lnx＋ln4，在上恰有两解，令

h(x)＝x2－4lnx＋ln4，由导函数得在上递减，在(，2)上递增，可得2< h(x)≤4－2ln2，即2<m≤4－2ln2．

【解析】
(1)∵点P(1，f(1))在切线2x－y－3＝0上，

∴2－f(1)－3＝0，

∴f(1)＝－1，故b＝－1， 2分

又，∴f ′(1)＝a＋2b＝2，∴a＝4，

∴f(x)＝4lnx－x2． 4分

(2)g(x)＝4lnx－x2＋m－ln4

由g(x)＝0得：m＝x2－4lnx＋ln4，此方程在上恰有两解， 6分

记h(x)＝x2－4lnx＋ln4，则

, 8分

由h′(x)＝0得：x＝∈，

在 上，h′(x)<0，h(x)单调递减，

在(，2)上，h′(x)>0，h(x)单调递增， 10分

又h()＝＋4＋2ln2，h()＝2－4ln＋2ln2＝2，

h(2)＝4－4ln2＋2ln2＝4－2ln2，

∵h()≥h(2)，∴2<m≤4－2ln2． 13分

考点：导数的几何意义，利用导数求函数的值域．