题目内容
正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=（a+1）2，n∈N*．
（1）试求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）∵4Sn=（a+1）2，n∈N*，∴
…①
当n=1时，
，∴a1=1．
当n≥2时，
…②
①、②式相减得：
4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），
∴2（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
∴an-an-1=2，
综上得an=2n-1．（6分）
（2）
=
，
∴Tn=
=
．（12分）
分析：（1）由题设知，a1=1，，所以4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），由此能求出an=2n-1．
（2）由=，利用裂项求和法能求出Tn的值．
点评：第（1）题考查数列的通项公式，解题时要注意迭代法的合理运用；第（2）题考查数列的前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
…①当n=1时，
，∴a1=1．当n≥2时，
…②①、②式相减得：
4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），
∴2（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
∴an-an-1=2，
综上得an=2n-1．（6分）
（2）
=
，∴Tn=
=
．（12分）分析：（1）由题设知
，a1=1，，所以4an=（an+an-1）（an-an-1）+2（an-an-1），由此能求出an=2n-1．（2）由
=，利用裂项求和法能求出Tn的值．点评：第（1）题考查数列的通项公式，解题时要注意迭代法的合理运用；第（2）题考查数列的前n项和的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．
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