Question

【题目】已知抛物线C：的焦点为F，Q是抛物线上的一点，．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点作直线l与抛物线C交于M，N两点，在x轴上是否存在一点A，使得x轴平分？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）由题意可知，设，由即可求出p的值，从而得到抛物线C的方程；

（Ⅱ）对直线l的斜率分情况讨论，当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x轴上任意一点A（不与点重合），都可使得x轴平分；

当直线l的斜率存在时，由题意可得，设直线l的方程为：与抛物线方程联立，利用韦达定理代入得，解得，故点．

解：（Ⅰ）由题意可知，，

∵点Q在物线C：上，∴设，

，

∴，解得，

∴抛物线C的方程为：；

（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性可知x轴上任意一点A（不与点重合），都可使得x轴平分；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，

设，，

联立方程，

消去y得：，

，（*），

假设在x轴上是否存在一点，使得x轴平分，

∴，

∴，

∴，

又，，

∴，

把（*）式代入上式化简得：，

∴，

∴点，

综上所求，在x轴上存在一点，使得x轴平分．