Question

如图，在四棱锥中，//，，，

平面，.

（1）求证：平面；

（2）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求 的值．

 

 

Answer 1

（1）证明：见解析；（2） 的值为.

【解析】

试题分析：解答该题可有两种思路，一是利用空间向量方法；二是利用几何法.注意到建立空间直角坐标系较为方便，因此利用“向量法”较好.

（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

通过计算，

.

证得，. 进一步得证.

（2）设（其中），，线与平面所成角为.所以. 所以.

即 .

由平面的一个法向量为.

计算得到，

根据.

解得 .

试题解析：（1）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，

所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，. 2分

所以 ，，，

所以，

.

所以 ，. 4分

因为 ，平面，平面，

所以 平面. 6分

（2）【解析】
设（其中），，线与平面所成角为.所以. 所以.

即 . 9分

由（1）知平面的一个法向量为.

因为 ， 12分

得 .

解得 .所以. 14分

 

法2：

(1) 依题意：∽,

所以，又因为，

所以，所以 ..2分

又因为平面，平面

所以 ..4分

因为，平面，平面，

所以平面. 6分

（2）【解析】
设（），，直线与平面所成角为.

记交于，连结.过作平行于，交于. 连结、.

由（1）知，平面，平面，

即为与平面所成角. ①. 8分

设（），则.

在中，，，.

易证∽，，即，

， ②.

在中，，，，

.

在中，，，.

根据余弦定理有：， 12分

即，

解得 ③.

将②，③代入①，解得. 14分

考点：1.空间垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法.