Question

（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设，则，，，，则可表示出，，，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由，，故，，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于平面，所以可取平面的一个法向量为；设平面的一个法向量为，则，，故即取，则，故，转化为两个法向量的夹角，设与的夹角为，则．即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.

试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

设，则，，，，

故，，，

因为，，故，，

即，， 又

所以，平面．

（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量

为，

点的坐标为，则，，

设平面的一个法向量为，则，，

故即取，则，

故．

设与的夹角为，则．

所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为

考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系