Question

3．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$在点（-1，f（-1））处的切线方程为x+y+3=0
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=ln（x-1），求证：2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（-1），结合函数f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为x+y+3=0，可得f′（-1）=-1，且f（-1）=-2，联立求得a，b的值得答案；
（2）把证明2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立转化为证2ln（x-1）＜2x-2在x∈（1，+∞）上恒成立，构造函数h（x）=2x-2-2ln（x-1），
利用导数求其最小值证得答案．

解答 （1）解：∵f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$，∴f′（x）=$\frac{a-a{x}^{2}-2bx}{（{x}^{2}+1）^{2}}$．
则f′（-1）=$\frac{a-a+2b}{4}=-1$，且f（-1）=$\frac{b-a}{2}=-2$，
解得：a=2，b=-2．
∴f（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$；
（2）证明：∵f（x）=$\frac{2x-2}{{x}^{2}+1}$，g（x）=ln（x-1），
∴要证2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，
即证2ln（x-1）＜2x-2在x∈（1，+∞）上恒成立，
令h（x）=2x-2-2ln（x-1），则h′（x）=2-$\frac{2}{x-1}$=$\frac{2x-4}{x-1}$．
当x∈（1，2）时，h′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0．
∴h（x）在（1，2）上为减函数；在（2，+∞）上为增函数．
则h（x）_min=h（2）=2＞0．
∴2ln（x-1）＜2x-2在x∈（1，+∞）上恒成立，
即2g（x）＜（x²+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．