题目内容

14．仙游某家具城生产某种家具每件成本为3万元，每件售价为x万元（x＞3），月销量为t件，经验表明，t=$\frac{a}{x-3}$+10（x-6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5万元时，月销量为11件．
（1）求a的值；
（2）求售价定为多少时，该家具的月利润最大，最大值为多少？

分析 （1）将x，y的值代入方程，求出a的值即可；（2）求出函数表达式，根据函数的单调性，求出函数的极大值和极小值，从而求出函数的最大值，得到答案即可．

解答 解：（1）因为x=5时，y=11，所以$\frac{a}{2}$+10=11，a=2．…（2分）
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量y=$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）2．
所以该家具的月利润为：
f（x）=（x-3）[$\frac{2}{x-3}$+10（x-6）2]=2+10（x-3）（x-6）2，3＜x＜6．…（5分）
从而，f′（x）=10[（x-6）2+2（x-3）（x-6）]=30（x-4）（x-6）．…（7分）
于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x（3，4）4（4，6）
f′（x）+0-
f（x）单调递增极大值42单调递减
由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42．…（11分）
答：当销售价格为4万元时，该家具的月利润最大，最大值等于42万元．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数模型的建立，是一道中档题．

练习册系列答案
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6．设定义域为R的函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，且函数f（x+1）是偶函数，则满足f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）的x取值范围是（　　）
A．（-∞，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）B．（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）C．（-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）D．（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）
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从这次测试看，甲、乙两位同学，总成绩排名更靠前的是乙；甲、丙两位同学，逻辑思维成绩排名更靠前的是甲．
9．点P是圆（x+1）2+（y-2）2=2上任一点，则点P到直线x-y-1=0距离的最大值为（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$2\sqrt{2}$C．$3\sqrt{2}$D．$2+2\sqrt{2}$
19．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）•ex．
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（Ⅱ）求证：f（x）≥x3+x2+mxex+mex．
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（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=ln（x-1），求证：2g（x）＜（x2+1）f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立．
4．复数（$\frac{1-i}{1+i}$）10的值等于（　　）
A．-2B．-1C．2D．1

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