题目内容
14．已知△ABC中，AB+2AC=12，BC=6，点D为边BC的中点，则中线AD长的最小值为$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．分析 设AC=x，根据三角形的性质求出x的范围，先后在△ABC，△ABD中使用余弦定理得出AD关于x的函数，根据x的范围求出AD的最小值．
解答 
解：设AC=x，则AB=12-2x，
由三角形的性质得$\left\{\begin{array}{l}{12-2x+x＞6}\\{12-2x-x＜6}\\{12-2x≥x}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{12-2x+x＞6}\\{x-12+2x＜6}\\{x≥12-2x}\end{array}\right.$，
解得4≤x＜6．
在△ABC中，由余弦定理得cosB=$\frac{（12-2x）^{2}+36-{x}^{2}}{2•（12-2x）•6}$．
在△ABD中，由余弦定理得AD2=（12-2x）2+9-2•3•（12-2x）•cosB=$\frac{5}{2}{x}^{2}$-24x+63=$\frac{5}{2}$（x-$\frac{24}{5}$）2+$\frac{27}{5}$．
∴当x=$\frac{24}{5}$时，AD2取得最小值$\frac{27}{5}$．
∴AD的最小值为$\sqrt{\frac{27}{5}}$=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{15}}{5}$．
点评 本题考查了余弦定理，解三角形的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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6．设定义域为R的函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，且函数f（x+1）是偶函数，则满足f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）的x取值范围是（ ）
| A． | （-∞，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{4}{3}$，+∞） | B． | （$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$） | C． | （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞） | D． | （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$） |
