Question

（本小题满分15分）平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，－c），F₂（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，
⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）⊙M的方程为，（2）①椭圆离心率的取值范围为．②直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线上

（1）设⊙M的方程为，则由题设，得
解得 ⊙M的方程为，
⊙M的标准方程为．
（2）①⊙M与轴的两个交点，，又，，
由题设 即 所以………………………7分
解得，即 ．
所以椭圆离心率的取值范围为．……………10分
②由（1），得．由题设，得． ∴，．
∴直线MF₁的方程为，    ①  
直线DF₂的方程为．    ②
由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点，易知为定值，
∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线上．…………………15分