Question

（12分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，

求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，

所以，                                    

又椭圆的离心率为，即，所以，      

所以，.                                      

所以，椭圆的方程为.                     

（Ⅱ）不妨设的方程，则的方程为.

由得，

设，，因为，所以，

同理可得，                                     

所以，，       

，                     

设，则，

当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.