Question

已知函数(a、b∈R)，
（Ⅰ）若f(x)在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a 和b的值；
（Ⅱ）若f(x)为奇函数：（1）是否存在实数b，使得f(x)在为增函数，为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当x≥0时，都有f(x)≤0恒成立，试求b的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f(x)在x∈R上存在最大值和最小值，
∴b=0（否则f(x)值域为R），
∴
，
又，
由题意有， ∴a=2010；
（Ⅱ）若f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)=0，∴a=0，
∴，，
（1）若，使f(x)在（0，）上递增，在（，π）上递减，
则，∴b=0，
这时，
当时，，f(x)递增； 　
当时，，f(x)递减。
（2），
△=，
若△≤0，即，则对恒成立，这时f(x)在上递减，
∴。
若b＜0，则当x≥0时，，，
不可能恒小于等于0；
若b=0，则不合题意，
若，则，，
所以，，使，

综上所述，。