Question

已知函数(a，c∈R，a＞0，b是自然数)是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)是否存在直线l与y＝f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点(1，0)对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)是奇函数 　　∴f(－x)＝－f(x)，即 　　 　　∴－bx＋c＝－bx－c 　　∴c＝0 　　∴f(x)＝………………3分 　　由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0， 　　当x＞0时，f(x)＞0 　　∴f(x)的最大值在x＞0时取得． 　　∴x＞0时， 　　当且仅当 　　即时，f(x)有最大值 　　∴＝1,∴a＝b2　　① 　　又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a＋2　　② 　　把①代入②得2b2－5b＋2＜0解得＜b＜2 　　又b∈N,∴b＝1,a＝1,∴f(x)＝………………6分 　　(2)设存在直线l与y＝f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点(1，0)对称， 　　P(x0,y0)则Q(2－x0,－y0)，∴,消去y0，得x02－2x0－1＝0 　　解之，得x0＝1±,………………8分 　　∴P点坐标为()或() 　　进而相应Q点坐标为Q()或Q()．………………10分 　　∴存在这样的直线l，其方程为