Question

(1)已知：a，b∈R⁺，且a＋b＝1，

求证：2^a＋2^b＜3．

(2)已知：a，b是互不相等的正数，设函数f(n)＝aⁿ－bⁿ，且f(3)＝f(2)．

求证：1＜a＋b＜．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)由a＋b＝1得 　　2a＋2b＜32a＋21－a＜3 　　＜0 　　1＜2a＜2．∵a，b∈R+，且a＋b＝1， 　　∴0＜a＜1，故2a＋2b＜3． 　　(2)∵a，b是互不相等的正数， 　　由f(n)＝an－bn，f(2)＝f(3)， 　　得a2－b2＝a3－b3，即a2＋ab＋b2＝a＋b． 　　由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b， 　　(a＋b)2＞a＋b 　　a＋b＞1． 　　0＜a＋b＜ 　　3(a＋b)＜4， 　　3(a＋b)2＜4(a＋b) 　　3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2) 　　a2－2ab＋b2＞0 　　(a－b)2＞0． 　　∵a，b为互不相等的正数， 　　∴(a－b)2＞0总成立，故a＋b＜． 　　综上有1＜a＋b＜． 　　评析　　分析法(执果索因，逆流而上)证题思路是BC…A． 　　(2)题中运用了分析法与综合法，从已知条件出发，实行降幂变换，证出了a＋b＞1，而从结论出发，实行升幂变换导出了a＋b＜这是两种不同的思维程序．