Question

10．已知边长为$\sqrt{3}$的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，则球O的表面积为$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 设OO′⊥平面ABC，垂足是O′，设球半径为r，则AO′=1，OA=r，OO′=$\frac{1}{2}r$，由勾股定理求出r²=$\frac{4}{3}$，由此能求出球O的表面积．

解答 解：如图，设OO′⊥平面ABC，垂足是O′，设球半径为r，
∵边长为$\sqrt{3}$的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，
且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，
∴AO′=$\frac{2}{3}\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=1，OA=r，OO′=$\frac{1}{2}r$，
∵OA²=O′A²+OO^'2，∴${r}^{2}=1+\frac{{r}^{2}}{4}$
解得r²=$\frac{4}{3}$，
∴球O的表面积S=4πr²=$\frac{16π}{3}$．
故答案为：$\frac{16π}{3}$．

点评 本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．