Question

定义：称为n个正数p₁，p₂，…p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，试求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用给出的定义得到，整理得到．分n=1和n≥2求出数列{a_n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入，然后利用错位相减法求出数列{d_n}的前n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）由已知定义，得，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，即．
当n=1时，a₁=S₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
当n=1时也成立，∴a_n=4n-1；
（Ⅱ）由a_n=4n-1，所以=（4n-1）•2ⁿ．
则数列{d_n}的前n项和T_n=d₁+d₂+d₃+…+d_n．
即 （1）
（2）
（1）-（2）得：
==-10+（5-4n）•2ⁿ⁺¹．
所以 ．
点评：本题是新定义题，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，运用了分类讨论的数学思想方法，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查了学生的计算能力，是中档题．