题目内容

点P是椭圆
x2
2
+y2=1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面积．
考点：椭圆的简单性质
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=2
2
…①，再在△F1PF2中用余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=4…②．由①②联解，得（2+
3
）|PF1|•|PF2|=4，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF1F2的面积．
解答： 解：在椭圆
x2
2
+y2=1中，a=
2
，b=1，∴c=1
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=2
2
①（6分）
由余弦定理知：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2=（2c）2=4 ②（8分）
把①两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=8，③
③-②得（2+
3
）|PF1|•|PF2|=4，
∴|PF1|•|PF2|=4（2-
3
），（10分）
∴S△PF1F2=
1
2
|PF1|•|PF2|sin30°=2-
3
（12分）
点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点的张角为30°，求椭圆两焦点与该点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的简单性质和正、余弦定理等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），又f（x+
π
2
）=f（x-
π
2
），且当x∈[0，
π
2
]时，f（x）=sinx，则f（
5π
3
）的值为（　　）
A、
1
2
B、-
1
2
C、
3
2
D、-
3
2
在等比数列{an}中，a4-a3=2，且2a1为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn．
若C
 
3
n
=C
 
3
n-1
+C
 
4
n-1
，则n=
 
．
已知向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，t)，函数f(x)=
a
•
b

（Ⅰ）若t=0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的两个极值点分别在区间（-1，1）和（1，+∞）上，求t的取值范围．
已知函数f（x）=xln（1+x）-a（x+1）（x＞0），其中a为实常数．
（1）若函数g(x)=f′(x)-
2x
1+x
≥0定义域内恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：当a=0时，
f(x)
x2
≤1；
（3）求证：
1
2
+
1
3
+…+
1
n+1
＜ln(1+n)＜1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
．
求矩阵A=
32
21
的逆矩阵．
两个二次函数f（x）=x2+bx+c与g（x）=-x2+2x+d的图象有唯一的公共点P（1，-2），
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）设F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在[-2，0]上是单调函数，求m的范围．
巳知等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10=185．
（1）求an；
（2）若数列{an}满足：bn+3n=an+3×2n，求数列{bn}的前n项和Gn．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网